Objectifs par rapport aux acquis d'apprentissage du programme

• Comprendre de manière profonde les mathématiques " élémentaires ".
• Pouvoir utiliser les espaces vectoriels, les applications linéaires et les techniques qui leur sont associées.
• Comprendre et pouvoir utiliser la théorie naïve des ensembles.
• Comprendre les structures algébriques de base.
• Manipuler les acquis antérieurs qui interviennent dans une question.
• Etre capable de donner des exemples et des contre-exemples (pour les définitions, les propriétés, les théorèmes,...)
• Comprendre et produire des raisonnements rigoureux en mathématiques.
• Etre capable de rédiger dans une expression claire et concise.
• Pouvoir utiliser le vocabulaire mathématique et le formalisme à bon escient.
• Etre capable de donner du sens à des expressions formelles.
• Etre capable de s'appuyer sur un dessin pour éclairer une notion, un raisonnement,...
• Résoudre des problèmes nouveaux.
• Capacité à l'abstraction, à la manipulation de théories formelles et à l'utilisation de celles-ci pour résoudre des problèmes.
• Etre capable d'adapter un argument à une situation similaire.
• Utiliser les connaissances issues de différents domaines pour traiter des questions.
• Pourvoir aborder la littérature et dialoguer avec les autres sciences.
• Posséder une connaissance suffisante de la langue anglaise pour la lecture de textes scientifiques, en particulier dans le domaine des mathématiques.

Acquis d'apprentissage UE

A l'issue de cet enseignement, les étudiants seront capables de comprendre le rôle de la théorie des modèles en mathématique et plus généralement de la logique mathématique. 

Contenu de l'UE

Rappel des bases vues lors du cours de BA2 (séminaire d'introduction à la logique mathématique). Eléments de base de la théorie des modèles (langages, formules, modèles, théories; théories complètes, modèle-complètes, élimination des quantificateurs), construction de modèles par ultraproduits et leur utilisation en mathématique pour divers problèmes (par exemple, modèle non standard des réels).Théorème de complétude (sans démonstration), théorème de compacité, théorème de Los, méthode des constantes, théorèmes de Lowenheim-Skolem,  applications (si possible) aux types, aux corps algèbriquement clos, réels clos...

Compétences préalables

Notions de base de logique mathématique (contenu similaire au séminaire d'introduction à la logique mathématique) et notions d'agèbre, d'algèbre linéaire et de topologie.

Types d'évaluations Q2 pour l'UE

• Examen écrit

Commentaire sur les évaluations Q2 de l'UE

Sans objet

Types d'évaluation Q3 pour l'UE

• Examen écrit

Commentaire sur les évaluations Q3 de l'UE

Sans objet